Question

16．如图，等腰△ABC和等腰△ACD有一条公共边AC，且顶角∠BAC和顶角∠CAD都是45°．将一块三角板中用含45°角的顶点与A点重合，并将三角板绕A点按逆时针方向旋转．
（1）当三角板旋转到如图1的位置时，三角板的两边与等腰三角形的两底边分别相交于M、N两点，求证：AM=AN；
（2）当三角板旋转到如图2的位置时，三角板的两边与等腰三角形两底边的延长线分别相交于M、N两点，（1）的结论还成立吗？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由∠BAC=∠CAD=∠MAN=45°得∠BAC-∠MAC=∠MAN-∠MAC即∠BAM=∠CAN，证△BAM≌△CAN得AM=AN；
（2）与（1）同理可得．

解答 证明：（1）∵∠BAC=∠CAD=∠MAN=45°，
∴∠BAC-∠MAC=∠MAN-∠MAC，
∴∠BAM=∠CAN，
在△BAM和△CAN中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAM=∠CAN}\\{∠B=∠ACN=67.5°}\end{array}\right.$，
∴△BAM≌△CAN（AAS），
∴AM=AN；

（2）成立．
∵∠BAC=∠CAD=∠MAN=45°，
∴∠BAC+∠MAC=∠MAN+∠MAC，
∴∠BAM=∠CAN，
在△BAM和△CAN中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠ACN}\\{∠BAM=∠CAN}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△BAM≌△CAN（AAS），
∴AM=AN．

点评 本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了全等三角形的判定与性质．