Question

如图，在△ABC中，三条角平分线交于点O，过点O作BO的垂线，交AB，BC于M，N两点，求证：△AMO∽△AOC∽△ONC．

Answer 1

考点：相似三角形的判定

专题：证明题

分析：等腰三角形的“三线合一”的性质求得∠BMN=90°-

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∠ABC，然后结合三角形内角和定理得到∠BMN=∠BAO+∠ACO，再由三角形外角的性质得到∠BMN=∠MAO+∠MOA，则∠ACO=∠MOA，又∠MAO=∠OAC，由“两角法”证得△AMO∽△AOC，同理可证△CNO∽△COA，所以△AMO∽△AOC∽△ONC．

解答：证明，如图，∵BO是∠ABC的平分线，BO⊥MN，
∴BM=BN，
∴∠BNM=∠BMN，
∴∠BMN=90°-

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∠ABC，
∴2∠BMN=180°-∠ABC=∠BAC+∠BCA=2∠BAO+2∠ACO，
∴∠BMN=∠BAO+∠ACO
又∵∠BMN=∠MAO+∠MOA，
∴∠ACO=∠MOA，
又∵∠MAO=∠OAC，
∴△AMO∽△AOC．
同理可证△CNO∽△COA．
∴△AMO∽△AOC∽△ONC．

点评：本题考查了相似三角形的判定．（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．