Question

如图，已知：平行四边形ABCD中，∠ABCD的平分线CE交边AD于E，∠ABC的平分线BG交CE于F，交AD于G．
（1）求证：AE=DG．
（2）若AB=4，AE=AG，求的值．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD，
∴∠AGB=∠CBG，∠DEC=∠BCE，
∵∠ABC的平分线CE交边AD于E，∠ABC的平分线BG交CE于F，交AD于G．
∴∠ABG=∠CBG，∠DCE=∠BCE，
∴∠AGB=∠ABG，∠DEC=∠DCE，
∴AG=AB，DE=CD，
∴AG=DE，
∴AE=DG；

（2）解：∵AB=AG=4，AE=AG，
∴EG=AG=，DG=AE=，
∴BC=AG+DG=4+=，
∴=．
分析：（1）由平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线CE交边AD于E，∠ABC的平分线BG交CE于F，交AD于G，根据平行线与角平分线的性质，易证得AG=AB=ED=CD，即可证得结论．
（2）由AB=4，AE=AG，可求得AG、EG与GD的长，即可求得BC的长，继而求得答案．
点评：此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．