Question

如图，点A为x轴负半轴上一点，点B为x轴正半轴上一点，OA，OB（OA＜OB）的长分别是关于x的一元二次方程x²-4mx+m²+2=0的两根，C（0，3），且S_△ABC=6，则∠ABC的度数为

 

．

Answer 1

考点：一元二次方程的应用

专题：计算题

分析：根据三角形AOB面积为6，OC=3，利用三角形面积公式求出AB=4，而AB=OA+OB，利用根与系数的关系求出m的值，确定出OB的长，即可确定出∠ABC的度数．

解答：解：∵S_△ABC=

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AB•OC=6，OC=3，
∴AB=4，即OA+OB=4，
∵OA，OB（OA＜OB）的长分别是关于x的一元二次方程x²-4mx+m²+2=0的两根，
∴OA+OB=4m，即4m=4，
解得：m=1，
代入方程得：x²-4x+3=0，即（x-1）（x-3）=0，
解得：x1=1，x2=3，
∴OA=1，OB=3，
∴OC=OB=3，即△BOC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°．
故答案为：45°

点评：此题考查了一元二次方程的应用，根与系数的关系，以及等腰直角三角形的性质，确定出OA与OB的长是解本题的关键．