Question

7．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，过C作⊙O的切线交AB的延长线于点F，DB⊥CF，垂足为E．
（1）试猜想∠ABD∠BAC的数量关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为$\frac{5}{2}$cm，弦BD的长为3cm，求CF的长．

Answer 1

分析 （1）由切线的性质得到OC⊥CF，由BD⊥CF，得到CO∥DE，∠COB=∠ABD，根据圆周角定理即可得到结果；
（2）过O作OG⊥BD于G，由垂径定理得到BG=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{3}{2}$，根据勾股定理得到OG=$\sqrt{{OB}^{2}{-BG}^{2}}$=2，然后通过三角形相似得到比例式即可解出答案．

解答 解：（1）∠BAC=$\frac{1}{2}∠$ABD，
∵CF是⊙O的切线，
∴OC⊥CF，
∵BD⊥CF，
∴CO∥DE，
∴∠COB=∠ABD，
∵∠BAC=$\frac{1}{2}$∠COB，
∴∠BAC=$\frac{1}{2}∠$ABD；

（2）过O作OG⊥BD于G，
∴BG=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{3}{2}$，
∵OB=$\frac{5}{2}$，
∴OG=$\sqrt{{OB}^{2}{-BG}^{2}}$=2，
∵∠OCE=∠ECB=∠OGB=90°，
∴四边形OQEC是矩形，
∴EG=OC=$\frac{5}{2}$，CE=OG=2，
∴BE=1，∵OC∥BE，
∴△EFB∽△CFO，
∴$\frac{EB}{OC}$=$\frac{EF}{CF}$，
∴$\frac{1}{\frac{5}{2}}$=$\frac{EF}{2+EF}$，
∴EF=$\frac{4}{3}$，
∴CF=2$+\frac{4}{3}$=$\frac{10}{3}$．

点评 本题考查了切线的性质勾股定理，相似三角形的判定和性质，垂径定理，正确的作出辅助线是解题的关键．