Question

如图，AB是⊙O的直径，M是⊙O上一点，MN⊥AB，垂足为N，P、Q分别为

AM

、

BM

上一点（不与端点重合），如果∠MNP=∠MNQ，下列结论不成立的是（　　）

• A、∠1=∠2
• B、∠Q=∠PMN
• C、∠P+∠Q=180°
• D、MN²=PN•QN

Answer 1

分析：利用等角的余角相等得到A对．利用垂径定理，同弧所对的圆周角相等得B对．利用三角形内角和定理得C错．利用三角形相似得D对．

解答：解：延长QN交圆O于C，延长MN交圆O于D，如图
MN⊥AB，∠MNP=∠MNQ，则∠1=∠2，所以A对；
因为AB是⊙O的直径，MN⊥AB，

AM

=

DA

，
由∠1=∠2，∠ANC=∠2，
∴∠1=∠ANC，
得P，C关于AB对称，

PA

=

AC

，

PD

=

MC

，所以∠Q=∠PMN，B对；
∠P+∠PMN＜180°，所以∠P+∠Q＜180°，C错；
因为∠MNP=∠MNQ，∠Q=∠PMN，
所以△PMN∽△MQN，则有MN²=PN•QN，所以D对．
故选C．

点评：记住等角的余角相等和三角形内角和定理．熟练掌握垂径定理和圆周角定理及其推论，三角形相似的判定定理．