Question

16．如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A、B两船相距$50（\sqrt{3}+1）$海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．
（1）求出A与C之间的距离AC．
（2）已知距观测点D处50海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据：$\sqrt{2}$≈1.41，$\sqrt{3}$≈1.73）

Answer 1

分析 （1）作CE⊥AB，设AE=x海里，则BE=CE=$\sqrt{3}$x海里．根据AB=AE+BE=x+$\sqrt{3}$x=50（$\sqrt{3}$+1），求得x的值后即可求得AC的长；
（2）作DF⊥AC于点F，根据AD的长和∠DAF的度数求线段DF的长后与50比较即可得到答案．

解答 解：（1）如图，作CE⊥AB，
由题意得：∠ABC=45°，∠BAC=60°，
设AE=x海里，
在Rt△AEC中，CE=AE•tan60°=$\sqrt{3}$x；
在Rt△BCE中，BE=CE=$\sqrt{3}$x．
∴AE+BE=x+$\sqrt{3}$x=50（$\sqrt{3}$+1），
解得：x=50．
AC=2x=100．
答：出A与C之间的距离是100海里；

（2）过点D作DF⊥AC于点F，
则DF=CF=$\sqrt{3}$AF=$\sqrt{3}$×50（$\sqrt{3}$-1）≈63.2海里，
∵63.2＞50，
所以巡逻船A沿直线AC航线，在去营救的途中没有触暗礁危险．

点评 本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并选择合适的边角关系解答．