直线CB:y=3x+b分别与x.y轴交于C.B两点.过点B的直线交x轴正半轴于点A.且OB=OA．(1)求直线AB的解析式,交AB于点E.交BC于点F.交x轴于点D.是否存在这样的直线EF.使得S△EBD=S△FBD?若存在.求出k的值,若不存在.说明理由,(3)动点M从点C出发沿x轴向点A运动.运动的速度为每秒1个单位长度.设M运动t s．①当BM=CM时.求t� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．

直线CB：y=3x+b分别与x，y轴交于C（-2，0），B两点，过点B的直线交x轴正半轴于点A，且OB=OA．
（1）求直线AB的解析式；
（2）直线EF：y=kx-k（k≠0）交AB于点E，交BC于点F，交x轴于点D，是否存在这样的直线EF，使得S_△EBD=S_△FBD？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；
（3）动点M从点C出发沿x轴向点A运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设M运动t s．
①当BM=CM时，求t的值；
②动点N从点A出发沿线段AB向点B运动，运动的速度为每秒$\frac{3}{4}$$\sqrt{2}$个单位长度，M，N两点同时出发，当其中一个动点到达终点时，它们都停止运动，当△MON为直角三角形时，求t的值．

分析（1）由直线CB：y=3x+b分别与x，交于C（-2，0），求得b的值，再利用待定系数法求得直线的解析式；
（2）根据S_△BED=S_△BDE，两三角形的高相等，得到DE=DF，由y=kx-k（k≠0）交x轴于点D，得到D点的坐标，利用点的坐标列方程求解；
（3）①由BM=CM，再根据勾股定理列方程求解；
②由于△MON为直角三角形，所以点M，N都有可能是直角顶点，当∠OMN=90°时，MN∥x轴，得到$\frac{AN}{AO}$=$\frac{AN}{AB}$，列方程求解，当∠NOM=90°时，点N与B重合，AN=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$t=6$\sqrt{2}$t，得到t=8，当∠ONM=90°时，点M与A重合，t=8，AN=6$\sqrt{2}$，而OM=6＜AN，所以这种情况不成立．

解答解：（1）∵直线CBy=3x+b与x交于C（-2，0），
∴0=3（-2）+b，
∴b=6，
∵OB=OA，点A在x轴上，
∴A（6，0），
∴直线AB的解析式：y=-x+6；

（2）存在
如图∵S_△BED=S_△BDE，
∴DE=DF，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+6}\\{y=kx-k}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{k+6}{k+1}}\\{y=\frac{5k}{k+1}}\end{array}\right.$，
∴E（$\frac{k+6}{K+1}$，$\frac{5k}{k+1}$），
解$\left\{\begin{array}{l}{y=3x+6}\\{y=kx-k}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{k+6}{k-3}}\\{y=\frac{9k}{k-3}}\end{array}\right.$，
∴F（$\frac{k+6}{k-3}$，$\frac{9k}{k-3}$），
∵直线y=kx-k交x轴于点D，
∴D（1，0），
∴$\frac{k+6}{k+1}$-1=1-$\frac{k+6}{k-3}$，
∴k=$\frac{3}{7}$；

（3）①动点M从点C出发沿x轴向点A运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设M运动t s，
∴CM=t，OM=t-2，OB=6，
∵BM=CM，
∴（t-2）²+6²=t²，
∴t=10；
②当∠OMN=90°时，MN∥x轴，
∴$\frac{AN}{AO}$=$\frac{AN}{AB}$，
∵AM=8-t，
∴AN=$\frac{3\sqrt{2}t}{4}$，
∴$\frac{8-t}{6}$=$\frac{\frac{3\sqrt{2}}{4}}{6\sqrt{2}}$，
∴t=$\frac{32}{7}$，
当∠NOM=90°时，点N与B重合，AN=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$t=6$\sqrt{2}$t，
∴t=8，
当∠ONM=90°时，点M与A重合，t=8，
AN=6$\sqrt{2}$，
∵OM=6＜AN，
∴不成立，
综上所述：当t=$\frac{32}{7}$或t=8时，△MON为直角三角形．