Question

1．在等边△ABC中，P、Q是BC边上的两点，AP=AQ．
（1）如图1，已知∠BAP=20°，求∠AQP的度数；
（2）点P、Q在BC边运动（不与B、C重合），点P在点Q的左侧，点P关于直线AB的对称点为M，连接AM、QM．
①按题意，将图2补全；
②在点P、Q运动的过程中，小明通过观察、实验、提出以下两个猜想：
（a）始终有∠MAP=∠CAP；  
（b）始终有QA=QM．
上述两个猜想你认为正确的是（b）（填序号），请证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质得到∠APQ=∠AQP，由等边三角形得到∠B=60°，根据三角形外角的性质即可得到结论；
（2）由轴对称性质得，MP被AB垂直平分，从而得出AM=AP，∠BAP=∠BAM，再根据等量代换得出AM=AQ，然后根据AP=AQ，∠ABC=∠ACB=60°，得出∠QAM=∠CAB=60°，进而得出△MAQ是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）如图1，∵AP=AQ，
∴∠APQ=∠AQP，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵∠BAP=20°，
∴∠AQB=∠APQ=∠BAP+∠B=80°；


（2）①如图2所示：
  
②（b）正确．  
证明：如图2，由轴对称性质得，MP被AB垂直平分，
∴AM=AP，∠BAP=∠BAM，
又∵AP=AQ，
∴AM=AQ，
∵AP=AQ，
∴∠APQ=∠AQP，
又∵∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠BAP=∠CAQ，
∴∠BAM=∠CAQ，
∴∠QAM=∠CAB=60°，
∴△MAQ是等边三角形，
∴QA=QM，即猜想（b）正确．
故答案为：（b）

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，轴对称的性质的综合应用，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键．