Question

6．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点D在射线BC上（不与点B、C重合），连接AD，将AD绕点D顺时针旋转90°得到DE，连接BE．
（1）如图1，点D在BC边上．
①依题意补全图1；
②作DF⊥BC交AB于点F，若AC=8，DF=3，求BE的长；
（2）如图2，点D在BC边的延长线上，用等式表示线段AB、BD、BE之间的数量关系（直接写出结论）．

Answer 1

分析 （1）①根据题意画出图形即可；
②根据SAS证明△ADF≌△EDB，根据全等三角形的性质得到AF=EB．在△ABC和△DFB中，根据勾股定理得到AB=$8\sqrt{2}$，BF=$3\sqrt{2}$．再根据线段的和差关系得到AF=AB-BF=$5\sqrt{2}$，即BE=$5\sqrt{2}$．
（2）根据AAS证明△ACD≌△DFE，根据全等三角形的性质得到EF=DC．再根据等腰直角三角形的性质得到$\sqrt{2}$EF=BE，$\sqrt{2}$BC=AB，根据等量关系即可得到$\sqrt{2}$BD=BE+AB．

解答 解：（1）①补全图形，如图1所示．

②如图1②，

由题意可知AD=DE，∠ADE=90°．
∵DF⊥BC，
∴∠FDB=90°．
∴∠ADF=∠EDB．
∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠ABC=∠DFB=90°．
∴DB=DF．
∴△ADF≌△EDB．
∴AF=EB．
在△ABC和△DFB中，
∵AC=8，DF=3，
∴A=$8\sqrt{2}$，BF=$3\sqrt{2}$．
AF=AB-BF=$5\sqrt{2}$
即BE=$5\sqrt{2}$．
（2）如图2，

$\sqrt{2}$BD=BE+AB．

点评 考查了作图-旋转变换，全等三角形的判定与性质，关键是根据题意证明三角形全等，同时涉及勾股定理，等腰直角三角形的性质的知识点．