Question

20．某商店经销一种新产品，每件产品的进货价为240元，销售单价为300元，在该产品的试销期间，为了促销，商店决定客户一次购买这种新产品不超过10件时，每件按300元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低2元，但销售单价均不低于260元．
（1）客户一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为260元？
（2）设客户一次购买这种产品x件，商店所获的利润为y元，求y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）该商店发现：当客户一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，商店所获的利润反而减少这一情况，为使客户一次购买的数量越多，商店所获的利润越大，商店应将最低销售单价调整为多少元？（其他销售条件不变）

Answer 1

分析 （1）设件数为x，则销售单价为300-10（x-10）元，根据销售单价恰好为2600元，列方程求解；
（2）由利润y=（销售单价-成本单价）×件数，及销售单价均不低于260元，按0≤x≤10，10＜x≤30，x＞30三种情况列出函数关系式；
（3）由（2）的函数关系式，利用二次函数的性质求利润的最大值，并求出最大值时x的值，确定销售单价．

解答 解：（1）设商家一次购买该产品x件时，销售单价恰好为260元．
300-2（x-10）=260，
解得：x=30，
答：客户一次购买这种产品30件时，销售单价恰好为260元；

（2）当0≤x≤10时，y=（300-240）x=60x，
当10＜x≤30时，y=[60-2（x-10）]x=-2x²+80x，
当x＞30时，y=（260-240）x=20x；

（3）当0≤x≤10或x＞30时，y都是随x的增大而增大；
当10＜x≤30时，由y=-2x²+80x可知抛物线的开口向下，
∵y=-2（x-20）²+800，
∴当x=20时，利润y有最大值，此时的销售单价为300-2（x-10）=280元，
答：商店应将最低销售单价调整为280元．

点评 本题考查了二次函数的应用．关键是明确销售单价与销售件数之间的函数关系式，会表达单件的利润及总利润．