Question

4．如图，正方形ABCD的边长为1，M、N分别为射线CB和射线DC上的点．
（1）如图1，M、N分别为线段CB和线段DC上的点，∠MAN=45°，延长CD到E，使DE=BM，连接AE，则△ABM≌△ADE（SAS），请证明：△NAE≌△NAM；
（2）如图2，若DN=BM+MN，求证：∠MAN=45°；
（3）在（2）条件下，若C为DN的中点，请直接写出MN的长为$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）只要证明∠EAN=∠MAN=45°即可解决问题；
（2）如图2中，在CD上取一点E，使DE=BM，连接AE，则△ABM≌△ADE（SAS），只要证明∠EAM=90°，△ANE≌△ANM即可解决问题；
（3）如图2中，设DE=BM=x，则MN=EN=2-x，在Rt△CNM中，CN=1，CM=1+x，MN=2-x，则有（2-x）²=1²+（1+x）²，解方程即可解决问题；

解答 解：（1）如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°，
∵△ABM≌△ADE，
∴∠BAM=∠DAE，AM=AE，
∵∠MAN=45°，
∴∠BAM+∠DAN=45°，
∴∠DAN+∠DAE=45°，
∴∠NAM=∠NAE=45°，
∵AN=AN，
∴△NAE≌△NAM．

（2）如图2中，在CD上取一点E，使DE=BM，连接AE，则△ABM≌△ADE（SAS），

∴AE=AM，∠DAE=∠BAM，
∴∠EAM=∠DAB=90°，
∵DN=BM+MN，DN=DE+EN，
∴EN=MN，
∵AN=AN，
∴△ANE≌△ANM，
∴∠NAE=∠NAM=45°，
∴∠MAN=45°．

（3）如图2中，设DE=BM=x，则MN=EN=2-x，
在Rt△CNM中，CN=1，CM=1+x，MN=2-x，
∴（2-x）²=1²+（1+x）²，
∴x=$\frac{1}{2}$，
∴MN=2-x=$\frac{3}{2}$．
故答案为$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．