Question

11．计算：（a+1）（a²+1）（a⁴+1）…（a¹²⁸+1）

Answer 1

分析 分a=1和a≠1两种情况计算，当a=1时，可化为8个2相乘；当a≠1时，原式乘以$\frac{1}{a-1}$（a-1）配成平方差，然后逐个使用平方差公式计算即可．

解答 解：当a=1时，原式=2×2×2×…×2=2⁸=256，
当a≠1时，原式=$\frac{1}{a-1}$（a-1）（a+1）（a²+1）（a⁴+1）…（a¹²⁸+1）
=$\frac{1}{a-1}$•（a²-1）（a²+1）（a⁴+1）…（a¹²⁸+1）
=$\frac{1}{a-1}$•（a⁴-1）（a⁴+1）…（a¹²⁸+1）
=$\frac{1}{a-1}$•（a⁸-1）…（a¹²⁸+1）
=$\frac{1}{a-1}$•（a²⁵⁶-1）
=$\frac{{a}^{256}-1}{a-1}$．

点评 本题考查了平方差公式的应用，能灵活运用平方差公式进行计算是解此题的关键，注意：（a+b）（a-b）=a²-b²．