Question

已知：如图，线段AB∥CD，AC⊥CD，AC、BD相交于点P，E、F分别是线段BP和DP的中点．
（1）求证：AE∥CF；
（2）如果AE和DC的延长线相交于点Q，M、N分别是线段AP和DQ的中点，求证：MN=CE．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据直角三角形斜边上中线性质求出AE=BE=PE，CF=PF，推出∠EAP=∠EPA，∠CPF=∠FCP，求出∠EAP=∠FCP，根据平行线的判定推出即可；
（2）求出ME∥CN，EN∥CM，得出矩形MCNE，根据矩形的判定推出即可．

解答：（1）证明：∵AB∥CD，AC⊥CD，
∴∠BAP=∠DCP=90°，
∵E、F分别是线段BP和DP的中点，
∴AE=PE=BE，CF=PF，
∴∠EAP=∠EPA，∠CPF=∠FCP，
∵∠EPA=∠CPF，
∴∠EAP=∠FCP，
∴AE∥CF；


（2）证明：连接EM、EN，
∵M、E分别为AP、BP的中点，
∴EM∥AB，
∵AB∥CD，
∴ME∥DC，即EM∥CN，
∵AB∥CD，
∴△AEB∽△QED，
∴

AE

EQ

=

BE

DE

，
∵AE=BE，
∴DE=EQ，
∵N为DQ的中点，
∴EN⊥AQ，
∵∠ACD=90°，
∴EN∥MC，
∴四边形MCNE是矩形，
∴MN=CE．

点评：本题考查了直角三角形斜边上中线性质，矩形的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，题目比较好，难度适中．