Question

20．如图，C、D是半圆O上的三等分点，直径AB=4，连接AD、AC，DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F．
（1）求∠AFE的度数；
（2）求阴影部分的面积（结果保留π和根号）．

Answer 1

分析 （1）连接OD，OC，根据已知条件得到∠AOD=∠DOC=∠COB=60°，根据圆周角定理得到∠CAB=30°，于是得到结论；
（2）由（1）知，∠AOD=60°，推出△AOD是等边三角形，OA=2，得到DE=$\sqrt{3}$，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．

解答 解：（1）连接OD，OC，
∵C、D是半圆O上的三等分点，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$=$\widehat{BC}$，
∴∠AOD=∠DOC=∠COB=60°，
∴∠CAB=30°，
∵DE⊥AB，
∴∠AEF=90°，
∴∠AFE=90°-30°=60°；
（2）由（1）知，∠AOD=60°，
∵OA=OD，AB=4，
∴△AOD是等边三角形，OA=2，
∵DE⊥AO，
∴DE=$\sqrt{3}$，
∴S_阴影=S_扇形AOD-S_△AOD=$\frac{60•π×{2}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}×2$×$\sqrt{3}$=$\frac{2}{3}$π-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了扇形的面积，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．