Question

3．如图①，直角三角形AOB中，∠AOB=90°，AB平行于x轴，OA=2OB，AB=5，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）经过点A．
（1）k=8；
（2）如图②，点P（x，y）中的反比例函数图象上，其中1＜x＜8，连接OP，过点O作OQ⊥OP，且OP=2OQ，连接PQ，设点Q坐标为（m，n），求n与m的函数解析式，并直接写出自变量m的取值范围．
（3）在（2）的条件下，若点Q坐标为（m，1），求△POQ的面积．

Answer 1

分析 （1）设AB与y轴交于点C，如图所示，根据OA=2OB，设OB=x，则有OA=2x，在直角三角形ABO中，利用勾股定理求出x的值，确定出OA与OB的长，利用面积法求出OC的长，在直角三角形AOC中，利用勾股定理求出AC的长，确定出A的坐标，代入反比例解析式求出k的值即可；
（2）分别过P，Q作PN⊥x轴，QM⊥x轴，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，得到三角形QOM与三角形PON相似，由相似得比例表示出PN与ON，进而表示出P坐标，代入反比例解析式即可确定出n与m的函数解析式；
（3）根据（2）的结论及题意确定出P与Q坐标，确定出QM，OM，PN，ON的长，三角形POQ面积=梯形PQMN面积-三角形QOM面积-三角形PNO面积，求出即可．

解答 解：（1）设AB与y轴交于点C，如图所示，
在Rt△AOB中，OA=2OB=2x，OB=x，AB=5，
根据勾股定理得：x²+（2x）²=5²，
解得：x=$\sqrt{5}$，
∴OA=2$\sqrt{5}$，OB=$\sqrt{5}$，
∵S_△AOB=$\frac{1}{2}$OA•OB=$\frac{1}{2}$AB•OC，
∴OC=$\frac{OA•OB}{AB}$=$\frac{2\sqrt{5}×\sqrt{5}}{5}$=2，
在Rt△AOC中，根据勾股定理得：AC=$\sqrt{O{A}^{2}-O{C}^{2}}$=4，
∴A（4，2），
把A坐标代入反比例解析式得：k=8；
故答案为：8；
（2）分别过P，Q作PN⊥x轴，QM⊥x轴，
∵∠QOM+∠OQM=90°，∠QOM+∠PON=90°，
∴∠OQM=∠PON，
∵∠QMO=∠PNO=90°，
∴△OQM∽△PON，
∴$\frac{QM}{ON}$=$\frac{OM}{PN}$=$\frac{OQ}{OP}$=$\frac{1}{2}$，
∵Q（m，n），
∴OM=-m，QM=n，
∴PN=-2m，ON=2n，即P（2n，-2m），
把P坐标代入反比例解析式得：-4mn=8，即-mn=2，
则n与m的函数解析式为n=-$\frac{2}{m}$（-2＜m＜-$\frac{1}{2}$）；
（3）根据题意及（2）得：n=1，m=-2，即Q（-2，1），P（2，4），
∴QM=1，PN=4，OM=2，ON=2，即MN-2+2=4，
∴S_△POQ=S_梯形PQMN-S_△QOM-S_△PON=$\frac{1}{2}$×4×（1+4）-$\frac{1}{2}$×1×2-$\frac{1}{2}$×2×4=10-1-4=5．

点评 此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质，待定系数法确定反比例函数解析式，勾股定理，以及梯形，三角形面积求法，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题第二问的关键．