题目内容
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A（-4，0），B（-1，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第三象限的抛物线上有一动点D．
①如图（1），若四边形ODAE是以OA为对角线的平行四边形，当平行四边形ODAE的面积为6时，请判断平行四边形ODAE是否为菱形？说明理由．
②如图（2），直线y=
x+3与抛物线交于点Q、C两点，过点D作直线DF⊥x轴于点H，交QC于点F．请问是否存在这样的点D，使点D到直线CQ的距离与点C到直线DF的距离之比为
：2？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第三象限的抛物线上有一动点D．
①如图（1），若四边形ODAE是以OA为对角线的平行四边形，当平行四边形ODAE的面积为6时，请判断平行四边形ODAE是否为菱形？说明理由．
②如图（2），直线y=
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考点：二次函数综合题
专题：代数几何综合题,压轴题
分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）①本问需结合菱形、平行四边形的性质来进行分析．如答图2-1，作辅助线，求出点D的坐标，进而判断平行四边形ODAE是否为菱形；
②本问为存在型问题．如答图2-2，作辅助线，构造相似三角形，利用比例式，列出一元二次方程，求得点D的坐标．
（2）①本问需结合菱形、平行四边形的性质来进行分析．如答图2-1，作辅助线，求出点D的坐标，进而判断平行四边形ODAE是否为菱形；
②本问为存在型问题．如答图2-2，作辅助线，构造相似三角形，利用比例式，列出一元二次方程，求得点D的坐标．
解答：解：（1）把点A（-4，0）、B（-1，0）代入解析式y=ax2+bx+3，
得
，解得
，
∴抛物线的解析式为：y=
x2+
x+3．
（2）①如答图2-1，过点D作DH⊥x轴于点H．
∵S?ODAE=6，OA=4，
∴S△AOD=
OA•DH=3，
∴DH=
．
因为D在第三象限，所以D的纵坐标为负，且D在抛物线上，
∴
x2+
x+3=-
，
解得：x1=-2，x2=-3．
∴点D坐标为（-2，-
）或（-3，-
）．
当点D为（-2，-
）时，DH垂直平分OA，平行四边形ODAE为菱形；
当点D为（-3，-
）时，OD≠AD，平行四边形ODAE不为菱形．
②假设存在．
如答图2-2，过点D作DM⊥CQ于M，过点C作CN⊥DF于N，则DM：CN=
：2．
设D（m，
m2+
m+3）（m＜0），则F（m，
m+3）．
∴CN=-m，NF=-
m
∴CF=
=-
m．
∵∠DMF=∠CNF=90°，∠DFM=∠CFN，
∴△DMF∽△CNF，
∴
=
=
，
∴DF=
CF=-
m．
∴DN=NF+DF=-
m-
m=-
m．
又DN=3-（
m2+
m+3）=-
m2-
m，
∴-
m2-
m=-
m
解得：m=-
或m=0（舍去）
∴
m2+
m+3=-
∴D（-
，-
）．
综上所述，存在满足条件的点D，点D的坐标为（-
，-
）．
得
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∴抛物线的解析式为：y=
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（2）①如答图2-1，过点D作DH⊥x轴于点H．
∵S?ODAE=6，OA=4，
∴S△AOD=
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∴DH=
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因为D在第三象限，所以D的纵坐标为负，且D在抛物线上，
∴
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解得：x1=-2，x2=-3．
∴点D坐标为（-2，-
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当点D为（-2，-
| 3 |
| 2 |
当点D为（-3，-
| 3 |
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②假设存在．
如答图2-2，过点D作DM⊥CQ于M，过点C作CN⊥DF于N，则DM：CN=
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设D（m，
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∴CN=-m，NF=-
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∴CF=
| CN2+NF2 |
| ||
| 2 |
∵∠DMF=∠CNF=90°，∠DFM=∠CFN，
∴△DMF∽△CNF，
∴
| DF |
| CF |
| DM |
| CN |
| ||
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∴DF=
| ||
| 2 |
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∴DN=NF+DF=-
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又DN=3-（
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∴-
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解得：m=-
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∴
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∴D（-
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综上所述，存在满足条件的点D，点D的坐标为（-
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| 5 |
| 3 |
点评：本题为二次函数压轴题，综合考查了二次函数、待定系数法、相似三角形、平行四边形、菱形等知识点．第（2）问涉及存在型问题，有一定的难度．在解题过程中，注意数形结合思想、分类讨论思想及方程思想等的应用．
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