Question

已知关于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+k²-2=0有两个不等的实根为x₁和x₂；
（1）求k的取值范围．
（2）若

1

x1

+

1

x2

=-

16

17

，求k的值．

Answer 1

考点：根与系数的关系,根的判别式

专题：计算题

分析：（1）根据根的判别式的意义得到△=（2k+1）²-4（k²-2）＞0，然后解不等式得到k的范围；
（2）根据根与系数的关系得x₁+x₂=2k+1，x₁x₂=k²-2，再把

1

x1

+

1

x2

=-

16

17

变形得到

x1+x2

x1x2

=-

16

17

，所以

2k+1

k2-2

=-

16

17

，然后解方程得k₁=

3

8

，k₂=-

5

2

，再根据（1）的范围确定k的值．

解答：解：（1）依题意得△=（2k+1）²-4（k²-2）＞0，
解得k＞-

9

4

；

（2）依题意得x₁+x₂=2k+1，x₁x₂=k²-2，
∵

1

x1

+

1

x2

=-

16

17

，
∴

x1+x2

x1x2

=-

16

17

，
∴

2k+1

k2-2

=-

16

17

，
整理为16k²+34k-15=0，解得k₁=

3

8

，k₂=-

5

2

，
∵k＞-

9

4

，
∴k=

3

8

．

点评：本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．也考查了根的判别式．