Question

6．如图所示，CD为⊙O的弦，P为劣弧$\widehat{CD}$上的任意一点（不与点C，D重合），AB为⊙O的直径，∠APC=∠APD，试判断CD与AB的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 作辅助线，构建三角形全等，证明△AOC≌△AOD和△AEC≌△AED，得∠AEC=∠AED，因为∠AEC+∠AED=180°，所以∠AEC=∠AED=90°，则CD⊥AB．

解答 解：CD⊥AB，理由是：
连接AC、AD、OC、OD，
∵∠APC=∠APD，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{AD}$，
∴AC=AD，
∵OC=OD，AO=AO，
∴△AOC≌△AOD，
∴∠CAE=∠DAE，
∵AC=AD，AE=AE，
∴△AEC≌△AED，
∴∠AEC=∠AED，
∵∠AEC+∠AED=180°，
∴∠AEC=∠AED=90°，
∴CD⊥AB．

点评 本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解决本题的关键：在同圆或等圆中，圆周角相等，则所对的弧相等；弧相等，则所对的弦相等，并利用三角形全等证明组成平角的两个角相等，则得结论．