Question

6．如图，在正方形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，点E、F分别在边AB、CD上，且AE=DF．求证：MN垂直平分EF．

Answer 1

分析 根据已知条件证得四边形AEFD是矩形，四边形ABNM是矩形，即可证得AD∥EF，MN⊥BC，即可证得MN⊥EF，然后根据SAS证得△AME≌△DMF，得出ME=MF，根据等腰三角形三线合一的性质即可证得结论．

解答 证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠A=∠D=90°，
∵AE=DF，
∴四边形AEFD是矩形，
∴AD∥EF，
∵M、N分别是AD、BC的中点，
∴同理可证，四边形ABNM是矩形，
∴MN⊥BC，
∴MN⊥EF，
在△AME和△DMF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=DM}\\{∠A=∠D}\\{AE=DF}\end{array}\right.$，
∴△AME≌△DMF（SAS），
∴ME=MF，
∴MN垂直平分EF．

点评 本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．