Question

如图①，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D．
（1）S_△ABD=

 

．（直接写出结果）
（2）如图②，将△ABD绕点D按顺时针方向旋转得到△A′B′D，设旋转角为α（α＜90°），在旋转过程中：
探究一：四边形APDQ的面积是否随旋转而变化？说明理由．
探究二：当α的度数为多少时，四边形APDQ是正方形？说明理由．

Answer 1

考点：旋转的性质,正方形的判定

专题：计算题

分析：（1）根据等腰三角形的性质，由AD⊥BC得BD=CD，则S_△ABD=

1

2

S_△ABC=4；
（2）①在△ABC中，根据等腰直角三角形的性质得∠B=∠C=45°，易得∠BAD=∠DAC=45°，BD=AD，再利用等角的余角相等得到∠BDP=∠ADQ，于是可判断△BPD≌△AQD，所以S_{四边形APDQ}=S_△APD+S_△AQD=S_△APD+S_△BPD=S_△ABD=4，即可判断四边形APDQ的面积不会随旋转而变化；
②由于∠PAQ=90°，则当DP⊥AB时，四边形APDQ为矩形，加上PA=PD，于是可判断四边形APDQ是正方形，此时∠BDP=45°，即α=45°．

解答：解：（1）∵AB=AC=4，∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴BD=CD，
∴S_△ABD=

1

2

S_△ABC=

1

2

•

1

2

AC•BC=

1

2

•

1

2

×4×4=4；
故答案为4；
（2）①四边形APDQ的面积不会随旋转而变化．理由如下：
在△ABC中，∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°，
∵AD⊥BC，
∴∠BAD=∠DAC=45°，
∴∠B=∠DAQ=∠BAD=45°，BD=AD，
又∵∠BDP+∠ADP=90°，∠ADQ+∠ADP=∠PDQ=90°，
∴∠BDP=∠ADQ，
在△BPD和△AQD中，

∠B=∠DAQ BD=AD ∠BDP=∠ADQ

，
∴△BPD≌△AQD（ASA），
∴S_{四边形APDQ}=S_△APD+S_△AQD=S_△APD+S_△BPD=S_△ABD=4；
②α=45°时，四边形APDQ是正方形．理由如下：
∵∠PAQ=90°，
∴当DP⊥AB时，
而∠PDQ=90°，
∴四边形APDQ为矩形，
∵∠PAD=45°，
∴PA=PD，
∴四边形APDQ是正方形，此时∠BDP=45°，即α=45°．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质和正方形的判定．