Question

2．如图，正方形ABCD，点P是对角线AC上一点，连接BP，过点P作PQ⊥BP，PQ交CD于点Q，若AP=CQ=2，则正方形ABCD的面积为（　　）

• A． 6+4$\sqrt{2}$
• B． 16
• C． 12+8$\sqrt{2}$
• D． 32

Answer 1

分析 作PE⊥AB于E，交CD于F，如图，根据正方形的性质得∠PAE=∠PCF=45°，AB∥CF，再判断△PCF为等腰直角三角形得到PF=CF，接着利用等角的余角相等得到∠1=∠2，于是可证明△BEP≌△PQF，所以PE=FQ，在△AEP中利用等腰直角三角形的性质得PE=AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AP=$\sqrt{2}$，则FQ=$\sqrt{2}$，所以BE=CF=2+$\sqrt{2}$，于是得到AB=2+2$\sqrt{2}$，然后根据正方形面积公式计算即可．

解答 解：作PE⊥AB于E，交CD于F，如图，
∴四边形ABCD为正方形，
∴∠PAE=∠PCF=45°，AB∥CF，
∴PF⊥CF，
∴△PCF为等腰直角三角形，
∴PF=CF，
而CF=BE，
∴PF=BE，
∵PB⊥PQ，
∴∠1+∠BPE=90°，
而∠2+∠BPE=90°，
∴∠1=∠2，
在△BEP和△PQF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEP=∠PFQ}\\{∠2=∠1}\\{BE=PF}\end{array}\right.$，
∴△BEP≌△PQF，
∴PE=FQ，
在△AEP中，PE=AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AP=$\sqrt{2}$，
∴FQ=$\sqrt{2}$，
∴BE=CF=2+$\sqrt{2}$，
∴AB=2+2$\sqrt{2}$，
∴正方形ABCD的面积=（2+2$\sqrt{2}$）²=12+8$\sqrt{2}$．
故选C．

点评 本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．