Question

12．如图，⊙O的半径为2，OB=4，OB交⊙O于点D，点C是⊙O上一动点，以BC为边向下作等边△ABC．
（1）当点C运动到∠COD=60°时，
①求证：BC与⊙O相切；
②试判断点A是否在⊙O上，并说明理由．
（2）设△ABC的面积为S，求S的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用等边三角形的判定定理得△OCD为等边三角形，由CD为OB边的中线且OB=2CD得△OCB为直角三角形，得到结论；
（2）连接OA，证明△CBO≌△ABO，由全等三角形的性质得OA=OC，所以点A在⊙O上；
（3）因为点C是⊙O上一动点，以BC为边向下作等边△ABC，所以当BC边最短时，△ABC面积最小；当BC边最长时，△ABC面积最大，从而确定取值范围．

解答 （1）①证明：连接CD，
∵OC=OD，∠COD=60°，
∴△OCD为等边三角形，
∴CD=OC=2，
∵OB=4，
∴CD为OB边的中线且OB=2CD，
△OCB为直角三角形，∠OCB=90°，
∴OC⊥CB，
∴BC与⊙O相切；
②解：点A在⊙O上；
连接OA，
∵∠OCB=90°，∠COD=60°，
∴∠CBO=30°
∵△ABC为等边三角形，
∴∠CBA=60°，BC=BA，
∴∠CBO=∠ABO，
在△CBO与△ABO中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=BA}\\{∠CBO=∠ABO}\\{BO=BO}\end{array}\right.$，
∴△CBO≌△ABO（SAS），
∴OA=OC，
∴点A在⊙O上；

（2）解：当点C与点D重合时，△ABC面积最小，
S_△ABC=$\frac{1}{2}×$2×2×sin60°
=$\sqrt{3}$，
当点C运动至AO的延长线时，△ABC的面积最大，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$×6×6×sin60°
=9$\sqrt{3}$，
∴$\sqrt{3}≤S≤9\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了点与圆的位置关系，切线的判定，全等三角形的性质及判定，三角形的面积公式，作出适当的辅助线是解答此题的关键．