Question

17．在一海岸直线a上由于A、B两个海港，一轮船由B港沿北偏东60°方向航行，当轮船航行20海里到达P处时，在A港测得轮船在A港的北偏西60°方向；当轮船继续按原航线航行到C处时，在A港测得轮船在A港的北偏东15°方向上．此时轮船在C处发生故障，准备返回到A港维修，求AC的距离（保留根号）．

Answer 1

分析 作AD⊥BC于点D．先根据方向角的定义得出∠PBA=∠PAB=30°，那么AP=PB=20海里，由三角形外角的性质得出∠APD=∠PBA+∠PAB=60°．再解Rt△ADP，求出AD=PA•sin∠APD=20•sin60°=10$\sqrt{3}$海里．由∠BAC=90°+15°=105°，根据三角形内角和定理得到∠C=180°-∠ABC-∠BAC=45°．然后解Rt△ADC中，即可求出AC=$\frac{AD}{sin∠C}$=10$\sqrt{6}$海里．

解答 解：作AD⊥BC于点D．
∵∠PBA=∠PAB=90°-60°=30°，
∴AP=PB=20海里，
∴∠APD=∠PBA+∠PAB=60°．
在Rt△ADP中，∵∠ADP=90°，
∴AD=PA•sin∠APD=20•sin60°=10$\sqrt{3}$海里．
∵∠BAC=90°+15°=105°，
∴∠C=180°-∠ABC-∠BAC=45°．
在Rt△ADC中，∵∠ADC=90°，
∴AC=$\frac{AD}{sin∠C}$=10$\sqrt{6}$海里．
答：AC间的距离是10$\sqrt{6}$海里．

点评 本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，等腰三角形的判定，三角形内角和定理及外角的性质，锐角三角函数的定义，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．