Question

9．如图1，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，$\widehat{AE}$=$\widehat{AB}$，BE分别交AD、AC于点F、G．
（1）判断△FAG的形状，并说明理由；
（2）如图2，若点E和点A在BC的两侧，BE、AC的延长线交于点G，AD的延长线交BE于点F，其余条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若BG=26，BD-DF=7，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）首先根据圆周角定理及垂直的定义得到∠BAD+∠CAD=90°，∠C+∠CAD=90°，从而得到∠BAD=∠C，然后利用等弧对等角等知识得到AF=BF，从而证得FA=FG，判定等腰三角形；
（2）成立，证明方法同（1）；
（3）首先根据上题得到AF=BF=FG，从而利用已知条件得到FB=13，然后利用勾股定理得到BD=12，DF=5，从而求得AD=8，最后求得AB=4$\sqrt{13}$

解答 解：（1）等腰三角形；
理由：如图1，

∵BC为直径，AD⊥BC，
∴∠BAD+∠CAD=90°，∠C+∠CAD=90°，
∴∠BAD=∠C，
∵$\widehat{AE}$=$\widehat{AB}$，
∴∠ABE=∠C，
∴∠ABE=∠BAD，
∴AF=BF，
∵∠BAD+∠CAD=90°，∠ABE+∠AGB=90°，
∴∠DAC=∠AGB，
∴FA=FG，
∴△FAG是等腰三角形；
（2）成立；
∵BC为直径，AD⊥BC，
∴∠BAD+∠CAD=90°，∠C+∠CAD=90°，
∴∠BAD=∠C，
∵$\widehat{AE}$=$\widehat{AB}$，
∴∠ABE=∠C，
∴∠ABE=∠BAD，
∴AF=BF，
∵∠BAD+∠CAD=90°，∠ABE+∠AGB=90°，
∴∠DAC=∠AGB，
∴FA=FG，
∴△FAG是等腰三角形；

（3）由（2）得：AF=BF=FG，
∵BG=26，
∴FB=13，
∴$\left\{\begin{array}{l}{BD-DF=7}\\{B{D}^{2}+D{F}^{2}=169}\end{array}\right.$
解得：BD=12，DF=5，
∴AD=AF-DF=13-5=8，
∴AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=4$\sqrt{13}$．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，垂径定理、勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解本题的关键是判断出△FAG是等腰三角形，是一道难度不大的三角形和圆的结合的题目．