题目内容
3．已知△ABC，∠ACB=90°，点D（0，-3），M（4，-3）．（1）如图1，若点C与点O重合，且A（-3，a），B（3，b），a+b-8=0，求△ACB的面积；
（2）如图2，若∠AOG=50°，求∠CEF的度数；
（3）如图3，旋转△ABC，使∠C的顶点C在直线DM与x轴之间，N为AC上一点，E为BC与DM的交点∠NEC+∠CEF=180°，下列两个结论：①∠NEF-∠AOG为定值；②$\frac{∠NEF}{∠AOG}$为定值，其中只有一个是正确的，请你判断出正确的结论，并求其值．
分析 （1）过点A作AM⊥x轴于M，过点B作BN⊥x轴于N，根据△ABC的面积等于梯形AMNB的面积减去两个直角三角形的面积列式计算即可得解；
（2）根据对顶角相等和互余的性质得出∠CED=40°，再根据邻补角得出∠CEF=140°即可；
（3）作CP∥x轴，则CP∥DM∥x轴，根据平行线的性质得∠AOG=∠1，∠2+∠CEF=180°，由于∠NED+∠CEF=180°，所以∠2=∠NED，然后利用∠1+∠2=90°即可得到∠AOG+∠NEF=90°
解答 解：（1）如图1，过点A作AM⊥x轴于M，过点B作BN⊥x轴于N，
∵A（-3，a），B（3，b），
∴AM=a，OM=3，BN=b，ON=3，
∴MN=3+3=6，
△ABC的面积=$\frac{1}{2}$（a+b）×6-$\frac{1}{2}$×3a-$\frac{1}{2}$×3b，
=$\frac{1}{2}$（a+b），
∵a+b-8=0，
∴a+b=8
∴△ABC的面积=$\frac{3}{2}$×8=12；
（2）∵∠AOG=50°，
∴∠POD=50°，
∴∠COD=40°，
∴∠CQO=50°，
∴∠DQE=50°，
∴∠CED=40°，
∴∠CEF=140°；
（2）$\frac{∠NEF}{∠AOG}$为定值．理由如下：
作CP∥x轴，如图3，
∵CP∥DM∥x轴，
∴∠AOG=∠1，∠2+∠CEF=180°，
而∠NED+∠CEF=180°，
∴∠2=∠NED，
∵∠1+∠2=90°，
∴∠AOG+∠NEF=90°，
∵∠NEF=∠1+∠CNP，
∴∠NEF-∠AOG=45°
∴可得：∠NEF=67.5°，∠AOG=22.5°，可得$\frac{∠NEF}{∠AOG}$=3，是定值．
点评 此题考查了平行线的判定与性质：平行线于同一条直线的两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．
| A． | 4a4 | B． | -4a4 | C． | -4a3 | D． | 4a3 |
已知△ABC．
如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，D、E分别是边AB、AC的中点，DE=4，则△ABC与△ADE的面积比为4：1．