Question

9．四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O．
（1）如图1，点P是正方形ABCD外一点，连接OP，以OP为一边，作正方形OPMN，且边ON与边BC相交，连接AP，BN．
①依题意补全图1；
②判断AP与BN的数量关系及位置关系，写出结论并加以证明；
（2）点P在AB延长线上，且∠APO=30°，连接OP，以OP为一边，作正方形OPMN，且边ON与BC的延长线恰交于点N，连接CM，若AB=2，求CM的长（不必写出计算结果，简述求CM长的过程）

Answer 1

分析 （1）①根据题意作出图形即可．②结论：AP=BN，AP⊥BN，只要证明△APO≌△BNO即可．
（2）在RT△CMS中，求出SM，SC即可解决问题．

解答 解：（1）①补全图形如图1所示，

②结论：AP=BN，AP⊥BN．
理由：延长NB交AP于H，交OP于K．
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB，AO⊥BO，
∴∠1+∠2=90°，
∵四边形OPMN是正方形，
∴OP=ON，∠PON=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
在△APO和△BNO中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OB}\\{∠1=∠3}\\{OP=ON}\end{array}\right.$，
∴△APO≌△BNO，
∴AP=BN，∴∠4=∠5，
在△OKN中，∠5+∠6=90°，
∵∠7=∠6，
∴∠4+∠7=90°，
∴∠PHK=90°，
∴AP⊥BN．

（2）解题思路如下：

a．首先证明△APO≌△BNO，AP=BN，∠OPA=ONB．
b．作OT⊥AB于T，MS⊥BC于S，由题意可知AT=TB=1，
c．由∠APO=30°，可得PT=$\sqrt{3}$，BN=AP=$\sqrt{3}$+1，可得∠POT=∠MNS=60°．
d．由∠POT=∠MNS=60°，OP=MN，
可证，△OTP≌△NSM，
∴PT=MS=$\sqrt{3}$，
∴CN=BN-BC=$\sqrt{3}$-1，
∴SC=SN-CN=2-$\sqrt{3}$，
在RT△MSC中，CM²=MS²+SC²，
∴MC的长可求．

点评 本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．