Question

3．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是AB边上一点，G是AD延长线上一点，BE═DG，连接EG，CF⊥EG于点H，交AD于点F，连CE，BH．若BH=4$\sqrt{2}$，则FG=5．

Answer 1

分析 连接CG，过点H作HI⊥BC于点I，延长IH交AD于点J，设BE=x，利用全等三角形的性质和相似三角形的性质分别表示出BI、HI的长度，在△BHI中用勾股定理求出x，即可求出FG的长度．

解答 解：连接CG，过点H作HI⊥BC于点I，延长IH交AD于点J，
在△EBC与△GDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=DG}\\{∠EBC=∠GDC}\\{BC=CD}\end{array}\right.$，
∴△EBC≌△GDC，
∴EC=CG，∠ECB=∠GCD，
∵∠ECB+∠ECD=∠GCD+∠ECD，
∴∠ECG=90°，
∵CF⊥EG，
∴H是EG的中点，
∵JH∥AE，
∴△JGH∽△AGE，
∴$\frac{JH}{AE}$=$\frac{HG}{EG}$=$\frac{JG}{AG}$，
设BE=x，
∴AE=6-x，
∴$\frac{JH}{6-x}$=$\frac{1}{2}$，
∴JH=$\frac{1}{2}$（6-x）=3-$\frac{x}{2}$，
∴HI=JI-JH=6-（3-$\frac{x}{2}$）=3+$\frac{x}{2}$，
∴AG=AD+DG=6+x，
∴AJ=BI=$\frac{1}{2}$AG=3+$\frac{x}{2}$，
由勾股定理可得：
BI²+HI²=BH²，
解得：x=2，
∴JH=2，JG=4，
∵JH⊥FG，FH⊥HG，
∴∠FHJ=∠JGH，
∴△FHJ∽△HGJ，
∴$\frac{JH}{FJ}$=$\frac{JG}{JH}$，
∴JH²=FJ•JG，
∴FJ=1，
∴FG=5，
故答案为5

点评 本题涉及正方形的性质，全等三角形的性质和相似三角形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用知识进行解答．