Question

7．如图，等腰△ABC中，BA=BC，AO=3CO=6．动点F在BA上以每分钟5个单位长度的速度从B点出发向A点移动，过F作FE∥BC交AC边于E点，连结FO、EO．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）证明：当△EFO面积最大时，△EFO∽△CBA．

Answer 1

分析 （1）先根据题意得出AC两点的坐标，再设BO=x，由勾股定理求出x的值，进而可得出B点坐标；
（2）过F点作FK⊥BC于K，可设F点移动的时间为t，且0＜t＜2，由FE∥BC可得△AFE∽△ABC，而AO⊥BC交EF于T，故$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AT}{AO}$，$\frac{EF}{10}$=$\frac{6-3t}{6}$，即EF=10-5t，故S_△EFO=$\frac{1}{2}$EF×TO=$\frac{1}{2}$，当t=1时，△EFO的面积达到最大值；此时BF=FA，EF恰好为△ABC的中位线，所以$\frac{EF}{BC}$=$\frac{1}{2}$，由AO⊥BC于O得出$\frac{OF}{AB}$=$\frac{EO}{AC}$=$\frac{1}{2}$，故$\frac{FO}{AB}$=$\frac{EO}{AC}$=$\frac{EF}{BC}$，由此可得出结论；

解答 解：（1）∵AO=3CO=6，
∴CO=2，
∴C（2，0），A（0，6）．
设BO=x，且x＞0；则BC²=（2+x）²，AB²=AO²+OB²=36+x²；
又∵BC=AB，
∴（2+x）²=36+x²，解得x=8，
∴B（-8，0）；

（2）如图1，过F点作FK⊥BC于K，
可设F点移动的时间为t，且0＜t＜2，
则：BF=5t，TO=FK=3t；∴AT=6-3t，
又∵FE∥BC，
∴△AFE∽△ABC，
而AO⊥BC交EF于T，
则：$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AT}{AO}$，∴$\frac{EF}{10}$=$\frac{6-3t}{6}$即EF=10-5t，
故S_△EFO=$\frac{1}{2}$EF×TO=$\frac{1}{2}$（10-5t）×3t，
即S_△EFO=-$\frac{15}{2}$（t-2）t，
∴当t=1时，△EFO的面积达到最大值；     
此时BF=FA，EF恰好为△ABC的中位线．
则：$\frac{FE}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
又有AO⊥BC于O，
则：$\frac{OF}{AB}$=$\frac{EO}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{FO}{AB}$=$\frac{EO}{AC}$=$\frac{EF}{BC}$，
∴△EFO∽△CBA．

点评 本题考查的是相似三角形的判定与性质、三角形的面积、勾股定理等知识．