Question

3．如图，在直径为50 cm的圆中，有两条弦AB和CD，AB∥CD，且AB为40 cm，弦CD为48 cm，求AB与CD之间距离．

Answer 1

分析 根据题意画出图形，分AB与CD在圆心的同侧与异侧两种情况进行讨论．

解答 解：如图1所示，过O作OM⊥AB，
∵AB∥CD，∴ON⊥CD．
在Rt△BMO中，BO=25cm．
由垂径定理得BM=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×40=20cm，
∴OM=$\sqrt{O{B}^{2}-B{M}^{2}}$=$\sqrt{2{5}^{2}-2{0}^{2}}$=15cm．
同理可求ON=$\sqrt{O{C}^{2}-C{N}^{2}}$=$\sqrt{2{5}^{2}-2{4}^{2}}$=7cm，
∴MN=OM-ON=15-7=8cm．
当两弦位于圆心的两旁时，如图2所示：
过O作OM⊥AB，
∵AB∥CD，∴ON⊥CD．
在Rt△BMO中，BO=25cm．
由垂径定理得BM=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×40=20cm，
∴OM=$\sqrt{O{B}^{2}-B{M}^{2}}$=$\sqrt{2{5}^{2}-2{0}^{2}}$=15cm．
同理可求ON=$\sqrt{O{C}^{2}-C{N}^{2}}$=$\sqrt{2{5}^{2}-2{4}^{2}}$=7cm，
则MN=OM+ON=15+7=22（cm）．
综上所示，AB与CD之间的距离为8cm或22cm．

点评 此题主要考查的是垂径定理，解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解．分类讨论训练学生思维的严谨性．