Question

1．已知二次函数y=2x²-mx-m²
（1）求证：对于任意实数m，二次函数y=2x²-mx-m²的图象与x轴总有公共点；
（2）若这个二次函数图象与x轴有两个公共点A，B，且B点坐标为（1，0），求A点坐标．

Answer 1

分析 （1）利用一元二次方程根的判别式证明；
（2）根据题意求出m的值，解一元二次方程即可．

解答 （1）证明：2x²-mx-m²=0，
△=（-m）²-4×2×（-m²）
=m²+8m²
=9m²≥0，
∴对于任意实数m，二次函数y=2x²-mx-m²的图象与x轴总有公共点；
（2）解：由题意得，2×1²-m-m²=0，
整理得，m²+m-2=0，
解得，m₁=1，m₂=-2，
当m=1时，二次函数为y=2x²-x-1，
当y=0时，2x²-x-1=0，
解得，x₁=1，x₂=-$\frac{1}{2}$，
则点A的坐标为（-$\frac{1}{2}$，0），
当m=-2时，二次函数为y=2x²+2x-4，
当y=0时，2x²-x-1=0，
解得，x₁=1，x₂=-2，
则点A的坐标为（-2，0），
终上所述，A点坐标为（-$\frac{1}{2}$，0）或（-2，0）．

点评 本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，掌握二次函数与一元二次方程的关系、正确解出一元二次方程是解题的关键．