Question

在△ABC中，∠ABC=45°，F是高AD与高BE的交点．
（1）求证：△ADC≌△BDF．
（2）连接CF，若CD=4，求CF的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）先证明AD=BD，再证明∠FBD=∠DAC，从而利用ASA证明△BDF≌△ADC；
（2）利用全等三角形对应边相等得出DF=CD=4，根据勾股定理求出CF即可．

解答：（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠FDB=∠ADC=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠BAD=45°=∠ABD，
∴AD=BD，
∵BE⊥AC，
∴∠AEF=∠FDB=90°，
∵∠AFE=∠BFD，
∴由三角形内角和定理得：∠CAD=∠FBD，
在△ADC和△BDE中

∠ADC=∠BDF AD=BD ∠CAD=∠DBF

∴△ADC≌△BDE（ASA）；

（2）解：∵△ADC≌△BDE，CD=4，
∴DF=CD=4，
在Rt△FDC中，由勾股定理得：CF=

DF2+CD2

=

42+42

=4

2

．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理得应用，关键是找出能使三角形全等的条件，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应角相等，对应边相等．