Question

如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连结AC，若
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线对称轴上有一动点P，当时，求出点的坐标；
（3）如图2所示，连结，是线段上（不与、重合）的一个动点.过点作直线，交抛物线于点，连结、，设点的横坐标为．当t为何值时，的面积最大？最大面积为多少？

Answer 1

(1) y=x²-3x+2；；（2）（，）或（，）；（3）t=1时，S_△BCN的最大值为1.

试题分析：（1）已知了C点的坐标，即可得到OC的长，根据∠OAC的正切值即可求出OA的长，由此可得到A点的坐标，将A、C的坐标代入抛物线中，即可确定该二次函数的解析式；
（2）根据抛物线的解析式即可确定其对称轴方程，由此可得到点P的横坐标；若∠APC=90°，则∠PAE和∠CPD是同角的余角，因此两角相等，则它们的正切值也相等，由此可求出线段PE的长，即可得到点P点的坐标；（用相似三角形求解亦可）
（3）根据B、C的坐标易求得直线BC的解析式，已知了点M的横坐标为t，根据直线BC和抛物线的解析式，即可用t表示出M、N的纵坐标，由此可求得MN的长，以MN为底，B点横坐标的绝对值为高，即可求出△BNC的面积（或者理解为△BNC的面积是△CMN和△MNB的面积和），由此可得到关于S（△BNC的面积）、t的函数关系式，根据所得函数的性质即可求得S的最大值及对应的t的值．
试题解析：（1）∵抛物线y=x²+bx+c过点C（0，2），
∴c=2；
又∵tan∠OAC==2，
∴OA=1，即A（1，0）；
又∵点A在抛物线y=x²+bx+2上，
∴0=1²+b×1+2，b=-3；
∴抛物线对应的二次函数的解析式为y=x²-3x+2；
（2）存在.
过点C作对称轴l的垂线，垂足为D，如图所示，

∴x=-；
∴AE=OE-OA=，
∵∠APC=90°，
∴tan∠PAE=tan∠CPD，
∴，即，
解得PE=或PE=，
∴点P的坐标为（，）或（，）．
（3）如图所示，易得直线BC的解析式为：y=-x+2，

∵点M是直线l′和线段BC的交点，
∴M点的坐标为（t，-t+2）（0＜t＜2），
∴MN=-t+2-（t²-3t+2）=-t²+2t，
∴S_△BCN=S_△MNC+S_△MNB=MN·t+MN·（2-t），
=MN·（t+2-t）=MN=-t²+2t（0＜t＜2），
∴S_△BCN=-t²+2t=-（t-1）²+1，
∴当t=1时，S_△BCN的最大值为1．