Question

4．如图，长方形ABCD中，M为线段CD上一点，将四边形ABCM沿直线AM向上翻折使得点B、C分别落在点B′、C′处，线段B′C′分别交线段AD、CD于点E、F，连接BB′，若∠B′AE+∠BAM=∠AMC，且S_△ABB′=2$\sqrt{2}$，则点B′到直线BC的距离为1+$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 作B′H⊥BC于H，过B′作B′Q⊥BA的延长线于Q，根据翻折的性质得到AB=AB′，AM⊥BB′，进一步得到∠B′AE=45°，设AB′=x，再根据三角函数得到B′Q=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，根据三角形面积公式得到x的值，再由B′H=QB=AQ+AB即可求解．

解答 解：作B′H⊥BC于H，过B′作B′Q⊥BA的延长线于Q，
∵AM垂直平分BB′，
∴AB=AB′，AM⊥BB′，
∴∠BAM=∠B′AM，
∴2∠AB′180°-∠BAB′=180°-2∠BAM，
∵∠BAD=90°，
∴∠DAM=∠ABB′=∠AB′B=2α，
∴∠B′AM+∠AB′B=90°，
∴3α+α=90°，
∴2α=45°，
∴∠B′AE=45°，
设AB′=x，则B′Q=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∵S_△ABB′=2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{1}{2}$AB•B′Q=2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{1}{2}$x•$\frac{\sqrt{2}}{2}$x=2$\sqrt{2}$，
∴x=$\sqrt{2}$，
∴B′H=QB=AQ+AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+x=1+$\sqrt{2}$．
故答案为：1+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了长方形的性质、图形的翻折问题、三角函数、三角形面积，解决本题的关键是求出AB′的长．