Question

14．如图，点E是平行四边形ABCD的对角线AC上任意一点，求证：S_△BEC=S_△CDE．（两种证法）

Answer 1

分析 方法一：S_△BEC=S_△DEC的底边相等，所以只要证明两三角形的高相等就是了，这就需要作辅助线高，然后利用全等三角形证明即可；方法二：证△AFB≌△DHC（AAS），根据全等三角形的性质得出DH=BF，根据三角形的面积公式求出即可．

解答 证明：方法一：如图1，连接BD交AC于点O，

∵?ABCD中，BO=DO，△BOC和△OCD等底同高，面积相等，
△OEB和△OED等底同高，面积相等，
∴S_△BOC=S_△DOC，S_△BOE=S_△DOE．
又∵S_△BEC=S_△BOC+S_△BOE，S_△DEC=S_△DOC+S_△DOE，
∴S_△BEC=S_△DEC；
方法二：如图2，

过D作DH⊥AC于H，过B作BF⊥AC于F，
则∠DHC=∠BFA=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BAF=∠DCH，
在△AFB和△CHD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=∠DCH}\\{∠AFB=∠DHC}\\{AB=DC}\end{array}\right.$，
∴△AFB≌△DHC（AAS），
∴DH=BF，
∵CE=CE，S_△BEC=$\frac{1}{2}$CE×BF，S_△DEC=$\frac{1}{2}$CE×DH，
∴S_△BEC=S_△DEC．

点评 本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形的面积的应用，解此题的关键是证明三角形的底和高相等，当底和高相等时它们的面积就相等，难度适中．