Question

9．如图，已知△ABC中，AD，AE分别是∠CAB及其外角平分线，分别交CB及CB的延长线于D、E，F为DE的中点，求证：
（1）AF=DF=FE；
（2）$\frac{CD}{BD}$=$\frac{AC}{AB}$；
（3）$\frac{CE}{BE}$=$\frac{AC}{AB}$；
（4）CD•BE=BD•CE．

Answer 1

分析 （1）如图1，易证∠DAE=90°，然后运用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”即可解决问题；
（2）过点B作BM∥AC交AD的延长线于点M，如图2，易证AB=MB．由BM∥AC可得△CDA∽△BDM，则有$\frac{CD}{BD}$=$\frac{AC}{MB}$，由AB=MB可得$\frac{CD}{BD}$=$\frac{AC}{AB}$；
（3）过点C作CN∥AB交AE于点N，如图3，易证CA=CN．由CN∥AB可得△ECN∽△EBA，则有$\frac{CE}{BE}$=$\frac{CN}{BA}$，由CA=CN可得$\frac{CE}{BE}$=$\frac{AC}{AB}$；
（4）由（2）、（3）中的结论可得$\frac{CD}{BD}$=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{CE}{BE}$，即CD•BE=BD•CE．

解答 证明：（1）∵AD平分∠BAC，AE平分∠GAC，
∴∠BAD=∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠GAE=∠CAE=$\frac{1}{2}$∠GAC，
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=$\frac{1}{2}$∠BAC+$\frac{1}{2}$∠GAC=$\frac{1}{2}$×180°=90°．
∵F为DE的中点，
∴AF=DF=FE；

（2）过点B作BM∥AC交AD的延长线于点M，如图2，
则有∠M=∠DAC．
∵∠BAD=∠DAC，
∴∠M=∠BAD，
∴AB=MB．
∵BM∥AC，
∴△CDA∽△BDM，
∴$\frac{CD}{BD}$=$\frac{AC}{MB}$，
∴$\frac{CD}{BD}$=$\frac{AC}{AB}$；

（3）过点C作CN∥AB交AE于点N，如图3，
则有∠GAE=∠ANC．
∵∠GAE=∠CAE，
∴∠ANC=∠CAE，
∴CA=CN．
∵CN∥AB，
∴△ECN∽△EBA，
∴$\frac{CE}{BE}$=$\frac{CN}{BA}$，
∴$\frac{CE}{BE}$=$\frac{AC}{AB}$；

（4）由（2）得$\frac{CD}{BD}$=$\frac{AC}{AB}$，
由（3）得$\frac{CE}{BE}$=$\frac{AC}{AB}$，
∴$\frac{CD}{BD}$=$\frac{CE}{BE}$，
∴CD•BE=BD•CE．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的判定、角平分线的定义、平角的定义等知识，添加平行线是构造相似三角形常用的一种方法，应熟练掌握．