题目内容
运用“同一图形的面积用不同的表示方式”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．在解决几何问题时，我们常常用到这种“面积法”．
（1）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=5，AC=12．请用“面积法”解决下列问题：
①如图①，若AD是BC边上的高，则AD= ；
②如图②，若⊙O是△ABC的内切圆，则⊙O的半径为 ．
（2）如图2，等腰△ABC中，AB=AC，AC边上的高为h，M是底边BC上的任意一点，点M到腰AB，AC的距离分别为h1，h2．请用面积法证明：h1+h2=h．
（3）如图3，在平面直角坐标系中，抛物线y=-
x2-
x+3交x轴于A，B两点，交y轴于点C，线段BC上的一点M到AC的距离是1．请运用（2）的结论求出点M的坐标．
（1）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=5，AC=12．请用“面积法”解决下列问题：
①如图①，若AD是BC边上的高，则AD=
②如图②，若⊙O是△ABC的内切圆，则⊙O的半径为
（2）如图2，等腰△ABC中，AB=AC，AC边上的高为h，M是底边BC上的任意一点，点M到腰AB，AC的距离分别为h1，h2．请用面积法证明：h1+h2=h．
（3）如图3，在平面直角坐标系中，抛物线y=-
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| 4 |
考点：圆的综合题
专题：综合题
分析：（1）①如图①，先根据勾股定理计算出BC，再根据三角形面积公式得到
AD•BC=
AC•AB，则可计算出AD；
②如图②，设⊙O的半径为R，作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，连接OA、OB、OC，根据切线的性质得OD=OE=OF=R，由于S△ABC=S△OAB+S△OBC+S△OAC，根据三角形面积公式得到
R•AB+
R•BC+
R•AC=
AB•AC，从而可计算出R．
（2）连接AM，如图2，由于S△ABC=S△ABM+S△ACM，根据三角形面积公式得到
BD•AC=
AB•ME+
AC•MF，即h•AC=AB•h1+AC•h2，利用AB=AC，即可得到h1+h2=h．
（3）作MD⊥AC于D，ME⊥AB于E，如图3，把x=0代入y=-
x2-
x+3得y=0，可确定C点坐标（0，3），把y=0代入y=-
x2-
x+3，解方程可确定点A坐标（-4，0），B点坐标为（1，0），则利用勾股定理可计算出AC，从而得AB=AC=5，利用（2）的结论得到MD+ME=OC，而MD=1，OC=3，于是ME=2，然后证明△BME∽△BCO，利用相似比计算出ME=
，则OE=1-
=
，于是可得到M点坐标为（
，2）．
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| 2 |
| 1 |
| 2 |
②如图②，设⊙O的半径为R，作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，连接OA、OB、OC，根据切线的性质得OD=OE=OF=R，由于S△ABC=S△OAB+S△OBC+S△OAC，根据三角形面积公式得到
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| 2 |
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（2）连接AM，如图2，由于S△ABC=S△ABM+S△ACM，根据三角形面积公式得到
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（3）作MD⊥AC于D，ME⊥AB于E，如图3，把x=0代入y=-
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| 3 |
| 1 |
| 3 |
解答：（1）解：①如图①，
∵∠BAC=90°，AB=5，AC=12．
∴BC=
=13，
∵AD是BC边上的高，
∴
AD•BC=
AC•AB，
∴AD=
=
；
②如图②，设⊙O的半径为R，作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，连接OA、OB、OC，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OD=OE=OF=R，
∵S△ABC=S△OAB+S△OBC+S△OAC，
∴
R•AB+
R•BC+
R•AC=
AB•AC，
∴
×（5+12+13）×R=
×5×12，
∴R=2．
故答案为：
，2；
（2）证明：连接AM，如图2，
∵S△ABC=S△ABM+S△ACM，
∴
BD•AC=
AB•ME+
AC•MF，即h•AC=AB•h1+AC•h2，
∵AB=AC，
∴h1+h2=h．
（3）解：作MD⊥AC于D，ME⊥AB于E，如图3，
把x=0代入y=-
x2-
x+3得y=3，则C点坐标为（0，3），
把y=0代入y=-
x2-
x+3得-
x2-
x+3=0，解得x1=-4，x2=1，则A点坐标为（-4，0），B点坐标为（1，0），
∴AC=
=
=5，
而AB=1-（-4）=5，
∴AB=AC，
∴由（2）的结论可知MD+ME=OC，
而MD=1，OC=3，
∴ME=2，
∵ME∥OC，
∴△BME∽△BCO，
∴
=
，即
=
，解得BE=
，
∴OE=1-
=
，
∴M点坐标为（
，2）．
∵∠BAC=90°，AB=5，AC=12．
∴BC=
| AC2+AB2 |
∵AD是BC边上的高，
∴
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴AD=
| 5×12 |
| 13 |
| 60 |
| 13 |
②如图②，设⊙O的半径为R，作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，连接OA、OB、OC，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OD=OE=OF=R，
∵S△ABC=S△OAB+S△OBC+S△OAC，
∴
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴R=2．
故答案为：
| 60 |
| 13 |
（2）证明：连接AM，如图2，
∵S△ABC=S△ABM+S△ACM，
∴
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∵AB=AC，
∴h1+h2=h．
（3）解：作MD⊥AC于D，ME⊥AB于E，如图3，
把x=0代入y=-
| 3 |
| 4 |
| 9 |
| 4 |
把y=0代入y=-
| 3 |
| 4 |
| 9 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 9 |
| 4 |
∴AC=
| OA2+OC2 |
| 42+32 |
而AB=1-（-4）=5，
∴AB=AC，
∴由（2）的结论可知MD+ME=OC，
而MD=1，OC=3，
∴ME=2，
∵ME∥OC，
∴△BME∽△BCO，
∴
| ME |
| OC |
| BE |
| BO |
| 2 |
| 3 |
| BE |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
∴OE=1-
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
∴M点坐标为（
| 1 |
| 3 |
点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的性质、二次函数与x轴的交点问题和三角形面积公式；会利用勾股定理和相似比进行几何计算．
练习册系列答案
相关题目
如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，D是AB的中点．若在AC上存在一点E，使得△ADE与原三角形相似．