Question

如图，已知BC是以AB为直径的⊙的切线，且BC=AB，连接OC交⊙O于点D，延长AD交BC于点E，F为BE上一点，且DF=FB．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若BE=2，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：切线的判定,勾股定理,解直角三角形

专题：证明题

分析：（1）连接BD，根据等边对等角可得∠FDB=∠FBD，∠ODB=∠OBD，然后根据切线的性质即可证得；
（2）根据直角△OBC和直角△CDF中，tanC的定义即可列方程气的CD的长，在直角△CDF中利用勾股定理即可求解．

解答：（1）证明：连接BD，
∵BC是⊙O的切线，AB是直径，
∴AB⊥BC，
∴∠FBD+∠OBD=90°，
∵DF=FB，
∴∠FDB=∠FBD，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠FDB+∠ODB=∠FBD+∠OBD=90°，
∴OD⊥DF，
∴DF是圆的切线；

（2）解：∵AB是圆的直径，
∴∠ADB=90°，∠FDB+∠FDE=∠FBD+∠FED=90°，
∵∠FDB=∠FBD，
∴∠FDE=∠FED，
∴FD=FE=FB，
在直角△OBC中，tanC=

OB

BC

=

OB

2OB

=

1

2

，
在直角△CDF中，tanC=

DF

CD

，
∴

DF

CD

=

1

2

，
∵DF=1，
∴CD=2，
在直角△CDF中，由勾股定理可得：CF=

5

，
∴OB=

1

2

BC=

5 +1

2

，
∴⊙O的半径是

5 +1

2

．

点评：本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．