Question

1．已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点A（4，0），C（0，-4），另有一点B（-2，0）．
（1）求一次函数解析式；
（2）联结BC，点P是反比例函数y=$\frac{4}{x}$的第一象限图象上一点，过点P作y轴的垂线PQ，垂足为Q．如果△QPO与△BCO相似，求P点坐标；
（3）联结AC，求∠ACB的正弦值．

Answer 1

分析 （1）把A、C两点的坐标代入可求得一次函数解析式；
（2）可设出P点坐标为（x，$\frac{4}{x}$），由△POQ和△BCO相似可知有两种情况，当∠BCO=∠POQ时，利用两角的正切值相等，可得到关于x的方程，可求得x的值，可得P点坐标；当∠BCO=∠OPQ时，同理可求得P点坐标；
（3）作AD⊥BC于点D，由△ABC的面积可求得AD的长，且可求得AC的长，在Rt△ADC中，可求得∠ACB的正弦值．

解答 解：
（1）把A（4，0），C（0，-4）代入y=kx+b可得
$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=-4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴一次函数解析式为y=x-4；
（2）设P点坐标为（x，$\frac{4}{x}$），
∵，∠PQO=∠BOC=90°，
∴当△POQ和△BCO时是有∠BCO=∠POQ或∠BCO=∠OPQ，
①当∠BCO=∠POQ时，则tan∠BCO=tan∠POQ，
∴$\frac{1}{2}$=$\frac{\frac{4}{x}}{x}$，解得x=2$\sqrt{2}$或x=-2$\sqrt{2}$（舍去），
∴P点坐标为（2$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）；
②当∠BCO=∠OPQ时，则tan∠BCO=tan∠OPQ，
∴$\frac{1}{2}$=$\frac{x}{\frac{4}{x}}$，解得x=$\sqrt{2}$或x=-$\sqrt{2}$（舍去），
∴P点坐标为（$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$）；
综上可得P点坐标为（2$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）或（$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$）；
（3）作AD⊥BC交BC于D，如图，

∵A（4，0），C（0，-4），B（-2，0），
∴AC=4$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}$BC•AD，
∴6×4=2$\sqrt{5}$AD，
∴AD$\frac{12\sqrt{5}}{5}$，
∴在Rt△ADC中，sin∠ACB=$\frac{AD}{AC}$=$\frac{\frac{12\sqrt{5}}{5}}{4\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题为反比例函数综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、三角函数定义、分类讨论思想等知识点．在（2）中注意分两种情况是解题的关键，在（3）中构造直角三角形是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．