Question

已知△ABC中，AC=2

5

，AB=4

5

，BC=6．

（1）如图1，点M为AC的中点，在线段AB上取点N，使△AMN与△ABC相似，求线段MN的长；
（2）在给定的方格纸（图2）内，最多能作几个与△ABC相似，且面积最大的格点三角形（不需说明理由）？请你画出其中的一个．注：格点三角形是指以小正方形的顶点为顶点的三角形．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）需要分类讨论：当△ANM∽△ABC和△AMN∽△ABC时两种情况，利用相似三角形的对应边成比例来求MN的值；
（2）以所给网格的对角线作为原三角形中最长的边，可得每条对角线处可作4个三角形与原三角形相似，那么共有8个．

解答：解：（1）如图1，当△ANM∽△ABC时，MN∥AC，
∴

NM

BC

=

MA

BA

=

1

2

，
∴MN=

1

2

BC=3；
当△AMN∽△ABC时，有

AM

AC

=

MN

BC

，
∵M为AB中点，AB=2

5

，
∴AM=

5

，∵BC=6，AC=4

5

，
∴MN=

3

2

∴MN的长为3或

3

2

；

（2）每条对角线处可作4个三角形与原三角形相似，那么共有8个．如图2所示．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质．注意相似作图及解答有多种情况．