Question

某河道上有一个半圆形的拱桥，河两岸筑有拦水堤坝，其半圆形桥洞的横截面如图所示，已知上、下桥的坡面线ME、NF与半圆相切，上、下桥斜面的坡度i=1∶3.7，桥下水深OP=5米，水面宽度CD=24米，设半圆的圆心为O，直径AB在坡角顶点M、N的连线上，求从M点上坡、过桥、下坡到N点的最短路径长。（参考数据：π≈3，≈1.7，tan15°=）

Answer 1

解：连结OD、OE、OF，由垂径定理知：PD=CD=12（m）
在Rt△OPD中，OD==13（m）
∴OE=OD=13m 
∵tan∠EMO== 1∶3.7 ，tan15°==≈1：3.7
∴∠EMO=15°
由切线性质知∠OEM=90°
∴∠EOM=75°
同理得∠NOF=75°
∴∠EOF=180°-75°×2=30°
Rt△OEM中，tan15°==≈1∶3.7
∴EM=3.7×13=48.1（m）
又的弧长==6.5（m）
∴48.1×2+6.5=102.7（m），
即从M点上坡、过桥、再下坡到N点的最短路径长为102.7米。