Question

2．如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，AH是高．

（1）若BC=10，AH=8，则四边形ADEF的面积为20．
（2）求证：∠DHF=∠DEF．

Answer 1

分析 （1）由三角形面积公式可知：△BDE、△EFC的面积都等于△ABC面积的四分之一，进而可求出四边形ADEF的面积．
（2）首先证明四边形ADEF是平行四边形，进而可得∠DEF=∠DAF，再利用三角形的中位线定理证明四边形ADEF是平行四边形，可得到∠DAF=∠DEF，即可证出∠DHF=∠DEF．

解答 （1）解：∵BC=10，AH=8，
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$×8×10=40，
∵点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，
∴△BDE、△EFC的面积都等于△ABC面积的$\frac{1}{4}$，
∴四边形ADEF的面积=40-20=20，
故答案为：20；
（2）证明：
∵D、E、F分别是△ABC各边中点，
∴DE∥AC，EF∥AB，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴∠DEF=∠DAF，
∵AH是△ABC的高
∴△ABH、△ACH是直角三角形，
∵点D、点F是斜边AB、AC中点，
∴DH=DA，HF=AF，
∴∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，
∴∠DAH+∠FAH=∠FHA+∠DHA，
即∠DAF=∠DHF，
∴∠DEF=∠DHF．

点评 此题主要考查了平行四边形的性质与判定，三角形的中位线定理，直角三角形的性质，解决题目的关键是证明∠DHF=∠DAF与∠DAF=∠DEF．