Question

如图，抛物线y=ax²+bx+3经过A（-3，0），B（-1，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为M，直线y=-2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）直接用待定系数法就可以求出抛物线的解析式；
（2）由（1）的解析式求出抛物线的顶点坐标，根据抛物线的顶点坐标求出直线OD的解析式，设平移后的抛物线的顶点坐标为（h，

1

2

h），就可以表示出平移后的解析式，当抛物线经过点C时就可以求出h值，抛物线与直线CD只有一个公共点时可以得出

y=(x-h)2+ 1 2 h y=-2x+9

，得x²+（-2h+2）x+h²+

1

2

h-9=0，从而得出△=（-2h+2）²-4（h²+

1

2

h-9）=0求出h=4，从而得出结论．

解答：解：（1）抛物线解析式y=ax²+bx+3经过A（-3，0），B（-1，0）两点，
∴

9a-3b+3=0 a-b+3=0

，
解得

a=1 b=4

，
∴抛物线的解析式为y=x²+4x+3．

（2）由（1）配方得y=（x+2）²-1，
∴抛物线的顶点坐标为M（-2，-1），
∴直线OD的解析式为y=

1

2

x，
于是可设平移后的抛物线的顶点坐标为（h，

1

2

h），
∴平移后的抛物线的解析式为y=（x-h）²+

1

2

h，
当抛物线经过点C时，∵C（0，9），
∴h²+

1

2

h=9．
解得h=

-1± 145

4

，
∴当

-1- 145

4

≤h＜

-1+ 145

4

时，平移后的抛物线与射线CD只有一个公共点；
当抛物线与直线CD只有一个公共点时，
由方程组

y=(x-h)2+ 1 2 h y=-2x+9

，
得x²+（-2h+2）x+h²+

1

2

h-9=0，
∴△=（-2h+2）²-4（h²+

1

2

h-9）=0，
解得h=4，
此时抛物线y=（x-4）²+2与直线CD唯一的公共点为（3，3），点（3，3）在射线CD上，符合题意．
故平移后抛物线与射线CD只有一个公共点时，顶点横坐标的取值范围是

-1- 145

4

≤h＜

-1+ 145

4

或h=4．

点评：本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，二次函数图象与几何变换及方程组与交点坐标的运用，利用根的判别式判断得出是解题关键．