Question

5．如图，在?ABCD中，对角线BD平分∠ABC，过点A作AE∥BD，交CD的延长线于点E，过点E作EF⊥BC，交BC延长线于点F．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠ABC=45°，BC=2，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）证明∠ADB=∠ABD，得出AB=AD，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得出AB=CD=BC=2，证明四边形ABDE是平行四边形，∠ECF=∠ABC=45°，得出AB=DE=2，CE=CD+DE=4，在Rt△CEF中，由等腰直角三角形的性质和勾股定理即可求出EF的长．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD，AB∥CD，
∴∠ADB=∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ADB=∠ABD，
∴AB=AD，
∴?ABCD是菱形；

（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD=BC=2，
∵AB∥CD，AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，∠ECF=∠ABC=45°，
∴AB=DE=2，
∴CE=CD+DE=4，
∵EF⊥BC，∠ECF=45°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴EF=CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CE=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了平行四边形的性质与判定、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定以及等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握菱形判定与性质是解决问题的关键．