Question

已知△ABC，分别以AC和BC为直径作半圆O₁，O₂，P是AB的中点，

(1)如图1，若△ABC是等腰三角形，且AC＝BC，在，上分别取点E、F，使∠AO₁E＝∠BO₂F，则有结论①△PO₁E≌△FO₂P，②四边形PO₁CO₂是菱形，请给出结论②的证明；

(2)如图2，若(1)中△ABC是任意三角形，其他条件不变，则(1)中的两个结论还成立吗？若成立，请给出证明；

(3)如图3，若PC是⊙O₁的切线，求证：AB²＝BC²＋3AC²．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)可证明△APO1与△BPO2全等，则∠AO1P＝∠BO2P，再根据已知可得出EO1＝FO2，PO1＝PO2，则△PO1E≌△FO2P，可先证明四边形PO1CO2是平行四边形，再证明CO1＝CO2，即可得出四边形PO1CO2是菱形； 　　(2)由已知得出①成立，而②只是平行四边形； 　　(3)直角三角形APC中，设AP＝c，AC＝a，PC＝b，则c2＝a2＋b2；AB2＝4c2＝4(a2＋b2)，过点B作AC的垂线，交AC的延长线于D点．则CD＝a，BD＝2b．BC2＝a2＋4b2，由此得证． 　　解答：解：(1))∵P、O1、O2分∥别为AB、AC、BC的中点， 　　∴AP＝BP，AO1＝BO2，PO1BC，PO2AC， 　　∴四边形PO1CO2是平行四边形， 　　∵AC＝BC，∴PO1＝PO2， 　　∴四边形PO1CO2是菱形； 　　(2)∵P、O1、O2分别为AB、AC、BC的中点，∴AP＝BP，AO1＝BO2，PO1BC，PO2AC， 　　即PO1＝BO2，AO1＝PO2， 　　∴△APO1≌△BPO2； 　　(3)直角三角形APC中，设AP＝c，AC＝a，PC＝b， 　　∴c2＝a2＋b2；AB2＝4c2＝4(a2＋b2)， 　　过点B作AC的垂线，交AC的延长线于D点． 　　∴CD＝a，BD＝2b，BC2＝a2＋4b2， 　　∴BC2＋3AC2＝a2＋4b2＋3a2＝4(a2＋b2)， 　　∴AB2＝BC2＋3AC2． 　　点评：本题综合考查了圆与全等的有关知识；利用中位线定理及构造三角形全等，利用全等的性质解决相关问题是解决本题的关键．

提示：

考点：切线的性质；全等三角形的判定；勾股定理；三角形中位线定理；菱形的判定．