Question

5．已知四边形ABCD内接于⊙O，∠D=90°，P为$\widehat{CD}$上一动点（不与点C，D重合）．
（1）若∠BPC=30°，BC=3，求⊙O的半径；
（2）若∠A=90°，$\widehat{AD}$=$\widehat{AB}$，求证：PB-PD=$\sqrt{2}$PC．

Answer 1

分析 （1）连接AC，得到AC是⊙O的直径，解直角三角形即可得到结论；
（2）根据圆内接四边形的性质得到四边形ABCD为矩形．推出矩形ABCD为正方形，根据全等三角形的性质得到PC=CE，得到△CPE为等腰直角三角形，即可得到结论．

解答 解：（1）连接AC，
∵∠D=90°，
∴AC是⊙O的直径，
∵∠BAC=∠P=30°，
∴AC=2BC=6，
所以圆O的半径为3；

（2）∵∠A=90°，
∴∠C=90°，
∵AC为圆O直径，
∴∠D=∠B=90°，
∴四边形ABCD为矩形．
∵$\widehat{AD}$=$\widehat{AB}$，
∴AB=AD，
∴矩形ABCD为正方形，
在BP上截取BE=DP，
∴△BCE≌△DPC，
∴PC=CE，
∴△CPE为等腰直角三角形，
∴PE=$\sqrt{2}$PC，
∴PB=PD+$\sqrt{2}$PC．

点评 本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．