Question

8．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F．
（1）求证：DF⊥AC；
（2）若⊙O的半径为4，∠C=67.5°，求阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）连接OD，可证明OD∥AC，可证得DF⊥AC；
（2）连接OE，可得∠ABC=∠ACB=67.5°，易得∠BAC=45°，得出∠AOE=90°，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式可求得阴影部分面积．

解答 （1）证明：
如图1，连接OD，

∵OB=OD，
∴∠ABC=∠ODB．
∴AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∴∠ODB=∠ACB．
∴OD∥AC．
∵DF是⊙O的切线，
∴DF⊥OD，
∴DF⊥AC；
（2）解：
如图2，连接OE，

∵DF⊥AC，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=67.5°，
∴∠BAC=45°．
∵OA=OB，
∴∠AOE=90°．
∵⊙O的半径为4，
∴S_阴影=$\frac{90π×{4}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×4×4=4π-8．

点评 本题主要考查了切线的性质，扇形的面积与三角形的面积公式，圆周角定理等，作出适当的辅助线，利用切线性质和圆周角定理，数形结合是解答此题的关键．