Question

7．如图，正△ABC的边长为2，⊙C的半径为1，点D在⊙C上，以AD为边作正△ADE，连接CD、CE、BE．
（1）求证：BE=CD；
（2）∠BAE为多少度时，AD为⊙C的切线？
（3）请直接写出CE的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）证明△ABE≌△ACD，然后利用全等三角形的性质进行证明即可；
（2）由△ABE≌△ACD，可知∠AEB=∠ADC，故此当∠AEB=90°时，AD为⊙C的切线，然后再Rt△AEB中，利用特殊锐角三角函数可求得∠BAE的度数；
（3）由（1）可知BE=CD，故此点E在以B圆心，以BE为半径的圆上，当点E在BC之间时，EC有最小值，当点E在CB的长线上时，CE有最大值．

解答 解：（1）∵△ABC和△ADE均为等边三角形，
∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60°．
∴∠BAE=∠CAD．
∵在△ABE和△ACD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠CAD}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACD．
∴BE=CD．

（2）∵△ABE≌△ACD，
∴∠AEB=∠ADC，
∴当∠AEB=90°时，AD为⊙C的切线．
∵∠AEB=90°，AB=2，BE=1，
∴∠BAE=30°．

（3）∵BE=CD=1，
∴点E在以B圆心，以BE为半径的圆上，
∴当点E在BC之间时，EC有最小值，最小值=BC-BE=2-1=1，
当点E在CB的长线上时，CE有最大值，CE的最大值=BC+EB=2+1=3．

点评 本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、切线的判定、特殊锐角三角函数值，证得△ABE≌△ACD是解题的关键．