Question

14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-$\frac{4}{3}$x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点C、D，四边形ABCD是正方形，反比例函数y=$\frac{k}{x}$ 的图象在第一象限经过点A．
（1）求点A的坐标以及k的值：
（2）点P是反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上一点，且△PAO的面积为21，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）过点A作AE⊥y轴于E，证明△AED≌△DOC，可得点A坐标，代入求解即可；
（2）分两种情况讨论：①点P在OA上方时，过P作PG⊥y轴于G，过A作AF⊥y轴于F，通过得出S_△APO=S_{四边形PGFA}，可得点P坐标；②点P在OA下方时，过P作PH⊥x轴于H，过A作AM⊥x轴于M，通过S_△APO=S_{四边形PHMA}，可得点P坐标．

解答 解：（1）由题可得：C（3，0），D（0，4）．
过A作AE⊥y轴于E，如图（1）：

在△AED和△DOC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠DOC}\\{∠ADE=∠DCO}\\{AD=DC}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△DOC，
∴AE=DO=4，ED=OC=3，
∴A点坐标为（4，7），
∵点A在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴k=28．
（2）设点P坐标为（x，$\frac{28}{x}$），
①当点P在OA上方时，如图（2）：

过P作PG⊥y轴于G，过A作AF⊥y轴于F，
∵S_△APO+S_△PGO=S_{四边形PGFA}+S_△AFO，S_△PGO=S_△AFO=14，
∴S_△APO=S_{四边形PGFA}，
有：$\frac{1}{2}$（x+4）（$\frac{28}{x}$-7）=21，
解得：x₁=-8（舍去），x₂=2；
即点P的坐标为（2，14）；
②当点P在OA下方时，如图（3）：

过P作PH⊥x轴于H，过A作AM⊥x轴于M，
∵S_△APO+S_△PHO=S_{四边形PHMA}+S_△AMO，S_△PHO=S_△AMO=14，
∴S_△APO=S_{四边形PHMA}，
有：$\frac{1}{2}$（$\frac{28}{x}$+7）（x-4）=21，
解得：x₃=-2（舍去），x₄=8，
即点P坐标为（8，$\frac{7}{2}$）．
综上可知：当点P坐标为（2，14）或（8，$\frac{7}{2}$）时，△PAO的面积为21．

点评 本题考查了反比例函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式、反比例函数k的几何意义及三角形的面积，解答此类题目的关键是分类讨论思想及数形结合思想的运用，难度较大．