Question

将两块三角尺按如图方式拼好，其中∠B=∠D=90°，∠ACD=30°，∠ACB=45°，AC=12，点E，F分别是△ACD，△ABC的重心，求EF的长．

Answer 1

考点：三角形的重心

专题：

分析：如图，作辅助线，求出线段OE、OF的长度；求出∠EOF的度数；运用余弦定理即可解决问题．

解答：解：如图，连接DE并延长，交AC于点O；
连接BO；
∵点E为△ADC的重心，
∴点O为AC的中点；
又∵点F为△ABC的重心，
∴点F在线段BO上；
∵△ADC、△ABC均为直角三角形，
∴DO=CO=6，EO=

1

3

×6=2；
∴∠ODC=∠OCD=30°，
∴∠EOA=30°+30°=60°；
同理可求：OF=2，∠AOF=90°；
∴∠EOF=150°，
由勾股定理得：
EF²=2²+2²-2×2×2cos150°
=8-4

3

，
∴EF=

6

-

2

．

点评：该命题主要考查了三角形的重心及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用三角形重心的性质及直角三角形的性质来分析、判断、推理或解答．